Kvadratická rovnica je jednou z matematických rovníc premennej, ktorá má najväčšiu mocninu z dvoch.
Všeobecná forma kvadratickej rovnice alebo PK je nasledovná:
sekera2 + bx + c = 0
s X je premenná, a, b je koeficient a c je konštanta. Hodnota a sa nerovná nule.
Tvary grafov
Ak je kvadratická rovnica opísaná v kartézskych súradniciach (x, y), vytvorí parabolický graf. Kvadratické rovnice sa preto často označujú aj ako parabolická rovnica.
Nasleduje ukážka formy tejto rovnice vo forme parabolického grafu.
Vo zovšeobecnenej hodnotovej rovnici a, ba c výrazne ovplyvňuje výsledný parabolický vzorec.
Skóre a určiť konkávnu alebo konvexnú krivku paraboly. Ak je hodnota z a> 0, potom bude parabola otvorené hore (konkávne). Inak, ak a <0, potom bude parabola nadol otvorené (konvexné).
Skóre b na rovnici určuje horná poloha paraboly. Inými slovami, určenie hodnoty osi symetrie krivky sa rovná X =-b/2a.
Konštantná hodnota c na grafe určuje rovnica priesečník funkcie paraboly s osou y. Nasleduje parabolický graf so zmenami v konštantných hodnotách c.
Korene kvadratickej rovnice (PK)
Riešenie kvadratickej rovnice sa nazýva akar-koreň kvadratickej rovnice.
Rôzne PK korene
Druhy koreňov PK možno ľahko nájsť pomocou všeobecného vzorca D = b2 - 4ac zo všeobecnej rovnice pre kvadratickú ax2 + bx + c = 0.
Nasledujú druhy koreňov kvadratických rovníc.
1. Skutočný koreň (D> 0)
Ak je hodnota D> 0 z PK, vytvorí sa skutočné korene rovnice, ale majú rôzne korene. Inými slovami, x1 nie je to isté ako x2.
Príklad skutočnej koreňovej rovnice (D> 0)
Nájdite koreňový typ rovnice x2 + 4x + 2 = 0.
Vysporiadanie:
a = 1; b = 4; a c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (1) (2)
D = 16 - 8
D = 8
Takže od hodnoty D> 0 je koreň typu real root.
2. Skutočný koreň sa rovná x1 = x2 (D = 0)
Je to typ koreňa kvadratickej rovnice, ktorý produkuje korene s rovnakou hodnotou (x1 = x2).
Príklad skutočných koreňov (D = 0)
Nájdite koreňovú hodnotu PK 2x2 + 4x + 2 = 0.
Prečítajte si tiež: Typy vodných cyklov (+ celý obrázok a vysvetlenie)Vysporiadanie:
a = 2; b = 4; c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (2) (2)
D = 16 - 16
D = 0
Pretože hodnota D = 0, je dokázané, že korene sú skutočné a zdvojené.
3. Imaginárne korene / nereálne (D <0)
Ak je hodnota D <0, potom bude koreň kvadratickej rovnice imaginárny / nereálny.
Príklad imaginárnych koreňov (D <0) /
Nájdite koreňový typ rovnice x2 + 2x + 4 = 0.
Vysporiadanie:
a = 1; b = 2; c = 4
D = b2 - 4ac
D = 22 - 4 (1) (4)
D = 4 - 16
D = -12
Takže od hodnoty D <0 je koreň rovnice nereálny alebo imaginárny koreň.
Nájdite korene kvadratickej rovnice
Existuje niekoľko metód, ktoré možno použiť na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice. Medzi nimi je faktorizácia, dokonalé štvorce a použitie vzorca abc.
Nasledujúci text popisuje niekoľko metód hľadania koreňov rovnice.
1. Faktorizácia
Faktorizácia / factoring je metóda hľadania koreňov s hľadanie hodnoty, ktorá, ak sa vynásobí, vyprodukuje inú hodnotu.
Existujú tri formy kvadratických rovníc (PK) s rôznymi koreňovými faktorizáciami, a to:
| Č. | Formulár rovnice | Root-root faktorizácia |
| 1 | X2 + 2xy + r2 = 0 | (x + y)2 = 0 |
| 2 | X2 - 2 x + r2 = 0 | (x - y)2 = 0 |
| 3 | X2 - r2 = 0 | (x + y) (x - y) = 0 |
Nasleduje príklad problému týkajúceho sa použitia faktorizačnej metódy v kvadratických rovniciach.
Vyriešte 5x kvadratickú rovnicu2+ 13x + 6 = 0 pomocou faktorizačnej metódy.
Vysporiadanie:
5x2 + 13x = 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 0
5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(5x + 3) (x + 2) = 0
5x = -3 alebo x = -2
Výsledok riešenia je teda x = -3/5 alebo x = -2
2. Dokonalé štvorce
Formulár dokonalé štvorce je forma kvadratickej rovnice, ktorá je dáva racionálne číslo.
Výsledky dokonalej kvadratickej rovnice zvyčajne používajú nasledujúci vzorec:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
Všeobecné riešenie dokonalej kvadratickej rovnice je nasledovné:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
s (x + p) 2 = q, potom:
(x + p) 2 = q
x + p = ± q
x = -p ± q
Nasleduje príklad problému s používaním metódy dokonalej rovnice.
Vyriešte rovnicu x2 + 6x + 5 = 0 pomocou perfektnej metódy kvadratickej rovnice!
Vysporiadanie:
x2 + 6x +5 = 0
x2 + 6x = -5
Ďalším krokom, a to pridať jedno číslo v pravom a ľavom segmente, aby sa mohli zmeniť na dokonalý štvorec.
x2 + 6x + 9 = -5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
(x + 3) 2 = 4
(x + 3) = √4
x = 3 ± 2
Konečný výsledok je teda x = -1 alebo x = -5
Prečítajte si tiež: Definícia a rozdielnosť homoným, homofónov a homografov3. ABC kvadratické vzorce
Vzorec abc je alternatívnou voľbou, keď kvadratickú rovnicu nie je možné vyriešiť faktorizáciou alebo dokonalými kvadratickými metódami.
Tu je vzorec vzorca a B C v kvadratickej rovnici ax2 + bx + c = 0.
Nasleduje príklad riešenia problému s kvadratickou rovnicou pomocou vzorca a B C.
Vyriešte rovnicu x2 + 4x - 12 = 0 pomocou metódy abc vzorca!
Vysporiadanie:
x2 + 4x - 12 = 0
kde a = 1, b = 4, c = -12
Konštruovanie novej kvadratickej rovnice
Ak sme sa predtým naučili, ako nájsť korene rovnice, potom sa naučíme skladať kvadratickú rovnicu z koreňov, ktoré boli predtým známe.
Tu je niekoľko spôsobov, ako môžete vytvoriť novú PK.
1.Zostrojte rovnicu, keď poznáte korene
Ak má rovnica korene x1 a x2, potom rovnicu pre tieto korene možno vyjadriť pomocou
(x- x1) (x- x2)=0
Príklad:
Nájdite kvadratickú rovnicu, kde korene sú medzi -2 a 3.
Vysporiadanie:
X1 = -2 a x2=3
(x - (- 2)) (x-3) = 0
(x + 2) (x + 3)
x2-3x + 2x-6 = 0
x2-x-6 = 0
Takže výsledok rovnice pre tieto korene je x2-x-6 = 0
2.Zostrojte kvadratickú rovnicu, keď poznáte súčet a súčin koreňov
Ak sú známe korene kvadratickej rovnice s počtom a časmi x1 a x2, potom je možné kvadratickú rovnicu previesť do nasledujúceho tvaru.
x2- (x1+ X2) x + (x1.X2)=0
Príklad:
Nájdite kvadratickú rovnicu s koreňmi 3 a 1/2.
Vysporiadanie:
X1= 3 a x2= -1/2
X1+ X2=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2
X1.X2 = 3 (-1/2) = -3/2
Kvadratická rovnica teda je:
x2- (x1+ X2) x + (x1.X2)=0
x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (každá strana sa vynásobí 2)
2x2-5x-3 = 0
Kvadratická rovnica pre korene 3 a 1/2 je teda 2x2-5x-3 = 0.
