Matematická indukcia: koncepcie materiálov, vzorové otázky a diskusia

Matematická indukcia je deduktívna metóda, ktorá sa používa na dokázanie pravdivých alebo nepravdivých tvrdení.

Určite ste študovali indukciu matematiky na strednej škole. Ako vieme, matematická indukcia je rozšírením matematickej logiky.

Pri svojej aplikácii sa matematická logika používa na štúdium výrokov, ktoré majú nepravdivé alebo pravdivé hodnoty, ekvivalenty alebo negáciu, a na vyvodenie záverov.

Základné pojmy

Matematická indukcia je deduktívna metóda, ktorá sa používa na dokázanie pravdivých alebo nepravdivých tvrdení.

V tomto procese sa vyvodzujú závery založené na platnosti všeobecne prijatých tvrdení, aby mohli byť pravdivé aj konkrétne tvrdenia. Okrem toho sa premenná v matematickej indukcii považuje za člena množiny prirodzených čísel.

V zásade existujú tri kroky matematickej indukcie, ktoré majú dokázať, či môže byť vzorec alebo výrok pravdivý alebo naopak.

Tieto kroky sú:

• Dokážte, že tvrdenie alebo vzorec platí pre n = 1.
• Predpokladajme, že tvrdenie alebo vzorec platí pre n = k.
• Dokážte, že tvrdenie alebo vzorec platí pre n = k + 1.

Z vyššie uvedených krokov môžeme predpokladať, že vyhlásenie musí byť overiteľné pre n = k an = k + 1.

Typy matematickej indukcie

Existuje mnoho druhov matematických úloh, ktoré je možné vyriešiť pomocou matematickej indukcie. Matematickú indukciu preto môžeme rozdeliť do troch typov, a to na rady, delenie a nerovnosť.

1. Séria

V tomto type sérií sa problém s matematickou indukciou zvyčajne nachádza vo forme postupného sčítania.

Takže v úlohe série musí byť pravda dokázaná v prvom termíne, k-termíne a th-termíne (k + 1).

2. Rozdelenie

Typy indukcie delenia matematiky možno nájsť v rôznych úlohách, ktoré používajú nasledujúce vety:

• a je deliteľné b
• b faktor a
• b rozdeľuje a
• násobky b

Tieto štyri vlastnosti naznačujú, že výrok je možné vyriešiť pomocou matematickej indukcie typu divízie.

Je potrebné pamätať na to, že ak je číslo a deliteľné b, potom a = b.m kde m je celé číslo.

3. Nerovnosti

Typ nerovnosti je označený znamienkom, ktoré je väčšie alebo menšie ako znamienko vo výroku.

Existujú vlastnosti, ktoré sa často používajú pri riešení matematických indukčných typov nerovností. Tieto vlastnosti sú:

• a> b> c ⇒ a> c alebo a <b <c ⇒ a <c
• a 0 ⇒ ac <pr alebo a> b a c> 0 ⇒ ac> bc
• a <b ⇒ a + c <b + c alebo a> b ⇒ a + c> b + c

Príklady problémov s matematickou indukciou

Nasleduje ukážka problému, aby ste lepšie pochopili, ako vyriešiť vzorec pomocou matematickej indukcie.

Riadok

Príklad 1

Preukázať 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1) pre každých n prirodzených čísel.

Odpoveď:

P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)

Bude dokázané, že n = (n) platí pre každé n ∈ N

Prvý krok :

Ukáže sa, že n = (1) je správne

2 = 1(1 + 1)

Takže P (1) je správne

Druhý krok :

Predpokladajme, že n = (k) je pravdivé, tj.

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ s

Tretí krok

Ukáže sa, že n = (k + 1) je tiež pravda, to znamená

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Z predpokladov:

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)

Pridajte obe strany s u_{k + 1} :

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Takže n = (k + 1) je správne

Príklad 2

Na dokázanie rovníc použite matematickú indukciu

Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 pre všetky celé čísla n ≥ 1.

Odpoveď:

Prvý krok :
Ukáže sa, že n = (1) je správne
S1 = 1 = 12
Druhý krok
Predpokladajme, že n = (k) je pravda, to znamená
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Tretí krok
Dokážte, že n = (k + 1) je pravda
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
nezabudnite, že 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
potom
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
potom je dokázaná vyššie uvedená rovnica

Príklad 3

Dokázať to 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 true, pre každých n prirodzených čísel

Odpoveď:

Prvý krok :

Ukáže sa, že n = (1) je správne

1 = 12

Takže P (1) je správne

Druhý krok:

Predpokladajme, že n = (k) je pravda, to znamená

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.

Tretí krok:

Ukáže sa, že n = (k + 1) je tiež pravda, to znamená

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

Z predpokladov:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Pridajte obe strany s uk + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Takže n = (k + 1) je tiež pravda

Divízia

Príklad 4

Dokážte, že n3 + 2n je deliteľné 3 pre každých n prirodzených čísel

Odpoveď:

Prvý krok:

Ukáže sa, že n = (1) je správne

13 + 2.1 = 3 = 3.1

Takže n = (1) je správne

Druhý krok:

Predpokladajme, že n = (k) je pravda, to znamená

k3 + 2k = 3m, k∈NN

Tretí krok:

Ukáže sa, že n = (k + 1) je tiež pravda, to znamená

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 p, p ∈ ZZ

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 m + 3 (k2 + k + 1)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)

Pretože m je celé číslo a k je prirodzené číslo, (m + k2 + k + 1) je celé číslo.

Predpokladajme teda p = (m + k2 + k + 1)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 p, kde p ∈ ZZ

Takže n = (k + 1) je správne

Nerovnosť

Príklad 5

Preukázať, že pre každé prirodzené číslo platí n ≥ 2

3n> 1 + 2n

Odpoveď:

Prvý krok:

Ukáže sa, že n = (2) je správne

32 = 9 > 1 + 2.2 = 5

Takže P (1) je správne

Druhý krok:

Predpokladajme, že n = (k) je pravda, to znamená

3k> 1 + 2k, k ≥ 2

Tretí krok:

Ukáže sa, že n = (k + 1) je tiež pravda, to znamená

3k + 1> 1 + 2 (k + 1)

3k + 1 = 3 (3k)
3k + 1> 3 (1 + 2k) (pretože 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (pretože 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)

Takže n = (k + 1) je tiež pravda

Príklad 6

Preukázať, že pre každé prirodzené číslo platí n ≥ 4

(n + 1)! > 3n

Odpoveď:

Prvý krok:

Ukáže sa, že n = (4) je správne

(4 + 1)! > 34

ľavá strana: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

pravá strana: 34 = 81

Takže n = (4) je správne

Druhý krok:

Predpokladajme, že n = (k) je pravda, to znamená

(k + 1)! > 3k, k ≥ 4

Tretí krok:

Ukáže sa, že n = (k + 1) je tiež pravda, to znamená

(k + 1 + 1)! > 3k + 1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (pretože (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (pretože k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1

Takže n = (k + 1) je tiež pravda