Čiastočné integrálne, substitučné, neurčité a trigonometrické vzorce

Budeme študovať integrálne vzorce vo forme parciálnych integrálov, substitúcie, neurčitosti a trigonometrie v nasledujúcej diskusii. Pozorne načúvať!

Integrál je forma matematickej operácie, ktorá je inverzná alebo inverzná k derivácii a obmedzuje operácie určitého čísla alebo oblasti. Potom sa tiež rozdelí na dva, a to neurčitý integrál a určitý integrál.

Neurčitý integrál označuje definíciu integrálu ako inverziu (inverziu) derivácie, zatiaľ čo integrál je definovaný ako súčet oblasti ohraničenej určitou krivkou alebo rovnicou.

Integrál sa používa v rôznych oblastiach. Napríklad v matematike a inžinierstve sa integrály používajú na výpočet objemu rotujúceho objektu a plochy na krivke.

V oblasti fyziky sa použitie integrálov používa na výpočet a analýzu obvodov elektrických prúdov, magnetických polí a ďalších.

Všeobecný integrálny vzorec

Predpokladajme, že existuje jednoduchá funkcia axn. Integrál funkcie je

Informácie:

• k: koeficient
• x: premenná
• n: výkon / stupeň premennej
• C: konštantná

Predpokladajme, že existuje funkcia f (x). Ak budeme určovať plochu ohraničenú grafom f (x), potom sa dá určiť pomocou

kde a a b sú zvislé čiary alebo hranice oblastí vypočítané z osi x. Predpokladajme, že integrácia f (x) je označená ako F (x) alebo ak je napísaná

potom

Informácie:

• a, b: horná a dolná hranica integrálu
• f (x): krivková rovnica
• F (x): plocha pod krivkou f (x)

Integrované vlastnosti

Niektoré z integrálnych vlastností sú nasledujúce:

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál je opakom derivácie. Môžete to nazvať anti-derivát alebo primitívne.

Prečítajte si tiež: Systematika listov o uplatnení v zamestnaní (+ najlepšie príklady)

Výsledkom neurčitého integrálu funkcie je nová funkcia, ktorá nemá pevnú hodnotu, pretože v novej funkcii stále existujú premenné. Všeobecná forma integrálu je samozrejme.

Neurčitý integrálny vzorec:

Informácie:

• f (x): krivková rovnica
• F (x): plocha pod krivkou f (x)
• C: konštantná

Príklady neurčitých integrálov:

Substitúcia integrálna

Niektoré problémy alebo integrály funkcie je možné vyriešiť substitučným integrálnym vzorcom, ak existuje znásobenie funkcie, pričom jedna z funkcií je deriváciou inej funkcie.

Zvážte nasledujúce príklady:

Predpokladáme, že U = ½ x2 + 3, potom dU / dx = x

Takže x dx = dU

Integrálna rovnica pre substitúciu sa stáva

= -2 cos U + C = -2 cos (½ x2 + 3) + C

Príklad

povedzme 3x2 + 9x -1 ako u

takže du = 6x + 9

2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du

potom znova nahradíme u 3x2 + 9x -1, aby sme dostali odpoveď:

Čiastočné integrálne

Čiastkové integrálne vzorce sa zvyčajne používajú na riešenie integrálu znásobenia dvoch funkcií. Čiastočné integrály sú všeobecne definované ako

Informácie:

• U, V: funkcia
• dU, dV: derivácia funkcie U a derivácia funkcie V

Príklad

Aký je výsledok ∫ (3x + 2) hriechu (3x + 2) dx?

Vysporiadanie:

Príklad

u = 3x + 2

dv = sin (3x + 2) dx

Potom

du = 3 dx

v = ʃ sin (3x + 2) dx = - ⅓ cos (3x + 2)

Tak teda

∫ u dv = uv - ∫v du

∫ u dv = (3x + 2). (- ⅓ cos (3x + 2)) - ∫ (- ⅓ cos (3x + 2)). 3 dx

∫ u dv = - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + ⅓. ⅓ hriech (3x + 2) + C.

∫ u dv = - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + 1 /₉ hriech (3x + 2) + C.

Produkt ∫ (3x + 2) hriechu (3x + 2) dx je teda - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + 1 /₉ hriech (3x + 2) + C.

Prečítajte si tiež: Charakteristika planét v slnečnej sústave (FULL) s obrázkami a vysvetleniami

Trigonometrický integrál

Integrálne vzorce je možné prevádzkovať aj na trigonometrických funkciách. Činnosť trigonometrických integrálov sa vykonáva s rovnakým konceptom algebraických integrálov, ktorým je inverzná funkcia derivácie. kým sa nedá dospieť k záveru, že

Stanovenie krivkovej rovnice

Gradienty a rovnice dotýkajúce sa krivky v bode. Ak y = f (x), sklon dotyčnice ku krivke v ktoromkoľvek bode krivky je y '= f' (x). Preto, ak je známy sklon dotyčnice, možno rovnicu krivky určiť nasledujúcim spôsobom.

y = ʃ f '(x) dx = f (x) + c

Ak poznáte jeden z bodov prechádzajúcich krivkou, môžete nájsť hodnotu c, aby bolo možné určiť rovnicu krivky.

Príklad

Sklon dotyčnice ku krivke v bode (x, y) je 2x - 7. Ak krivka prechádza bodom (4, –2), nájdite rovnicu krivky.

Odpoveď:

f '(x) = = 2x - 7

y = f (x) = ʃ (2x - 7) dx = x2 - 7x + c.

Pretože krivka bodom (4, –2)

potom: f (4) = –2 ↔ 42 - 7 (4) + c = –2

–12 + c = –2

c = 10

Rovnica krivky je teda y = x2 - 7x + 10.

Preto je diskusia o niekoľkých integrálnych vzorcoch, dúfajme, užitočná.